Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 2017

Tìm số phức z thỏa mãn |1 - 2z| = |i - 2\bar{z}| và \frac{z+3}{z-3} có một acgumen bằng \frac{\pi}{4}

Tìm số phức z thỏa mãn |1 - 2z| = |i - 2

Câu hỏi

Nhận biết

Tìm số phức z thỏa mãn |1 - 2z| = |i - 2\bar{z}| và \frac{z+3}{z-3} có một acgumen bằng \frac{\pi}{4}


A.
z = -3 + 6i
B.
z = -3 - 6i
C.
z = 3 + 6i
D.
z = 3 - 6i
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt z = x + yi (x,y ∈ R)

Khi đó |1 - 2z| = |i - 2\bar{z}| ⇔ |(2x - 1) + yi| = |2x - (y + 1)i|

⇔ (2x - 1)2+y2 = (2x)2 + (y + 1)2

⇔ -2x = y (1)

Ta cũng có \frac{z+3}{z-3} = \frac{(x+3)+yi}{(x-3)+yi} = \frac{((x+3)+yi)((x-3)-yi)}{(x-3)^{2}+y^{2}}

                           = \frac{x^{2}-9+y^{2}}{(x-3)^{2}+y^{2}}+\frac{-6y}{(x-3)^{2}+y^{2}}i      (2)

Theo bài ra, \frac{z+3}{z-3} có một acgumen bằng \frac{\pi}{4}

nên \frac{z+3}{z-3} = r(cos\frac{\pi}{4} + isin\frac{\pi}{4}) = \frac{r}{\sqrt{2}} + \frac{r}{\sqrt{2}}i, r > 0            (3)

 Từ (2) và (3) suy ra \left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-9+y^{2}}{(x-3)^{2}+y^{2}}=\frac{r}{2}\\\frac{-6y}{(x-3)^{2}+y^{2}}=\frac{r}{2},r> 0\end{matrix}\right.

=> \left\{\begin{matrix}y< 0\\x^{2}-9+y^{2}=-6y\end{matrix}\right.

Kết hợp (1) ta được \left\{\begin{matrix}-2x=y< 0\\5x^{2}-12x-9=0\end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix}x=3\\y=-6\end{matrix}\right.

Vậy z = 3 - 6i

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết