Cho a và b là các số thực dương. Chứng minh rằng: (a+b)^{2}+\frac{a+b}{2}\geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}
Câu hỏi
Nhận biếtCho a và b là các số thực dương.
Chứng minh rằng: (a+b)^{2}+\frac{a+b}{2}\geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}
Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Với ∀a,b>0, ta có :(\sqrt{a}-\frac{1}{2})^{2}\geq 0;(\sqrt{b}-\frac{1}{2})^{2}\geq 0=>a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}\geq 0;b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\geq 0=>(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4})+(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4})\geq 0 ∀a,b>0=>a+b+\frac{1}{2}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}>0 (1)
Mặt khác a+b\geq 2\sqrt{ab}>0 (2)
Nhân từng vế của (1) và (2) ta có :
(a+b)[(a+b)+\frac{1}{2}]\geq 2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})=>(a+b)^{2}+\frac{(a+b)}{2}\geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}
Với ∀a,b>0, ta có :(\sqrt{a}-\frac{1}{2})^{2}\geq 0;(\sqrt{b}-\frac{1}{2})^{2}\geq 0=>a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}\geq 0;b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\geq 0=>(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4})+(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4})\geq 0 ∀a,b>0=>a+b+\frac{1}{2}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}>0 (1)
Mặt khác a+b\geq 2\sqrt{ab}>0 (2)
Nhân từng vế của (1) và (2) ta có :
(a+b)[(a+b)+\frac{1}{2}]\geq 2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})=>(a+b)^{2}+\frac{(a+b)}{2}\geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}
Câu hỏi liên quan
-
Cho phương trình x2- 4x + m = 0 (1), với m là tham số.
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Giải phương trình (1) khi m = -5
-
Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên
-
Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn: x2 - 12x – 14y < 0
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2và điểm A(0;1)
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k
-
Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M và N với mọi K
-
Giải hệ phương trình
-
AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.
-
Cho hệ phương trình:
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Giải hệ phương trình với a = 2
-
Chứng minh rằng: AM2 = AN.AB
-
Cho Parabol (P): ax2(a ≠ 0) và đường thẳng d: y=2x - a. Tìm điểm a để d tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.