Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 1981

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện  x + y + z = 3. Chứng minh rằng \frac{4+\sqrt{x}}{4-x} + \frac{4+\sqrt{y}}{4-y} + \frac{4+\sqrt{z}}{4-z} ≥ 5

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3. Ch

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện  x + y + z = 3. Chứng minh rằng \frac{4+\sqrt{x}}{4-x} + \frac{4+\sqrt{y}}{4-y} + \frac{4+\sqrt{z}}{4-z} ≥ 5


A.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 2; y = -1, z = 2
B.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 3, y = 1, z =-1
C.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x =1, y = -2 , z = 4
D.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có VT = 2 (\frac{1}{4-x}+\frac{1}{4-y}+\frac{1}{4-z}) + \frac{2+\sqrt{x}}{4-x} + \frac{2+\sqrt{y}}{4-y} + \frac{2+\sqrt{z}}{4-z}

= 2(\frac{1}{4-x}+\frac{1}{4-y}+\frac{1}{4-z}) + ( \frac{1}{2-\sqrt{x}} + \frac{1}{2-\sqrt{y}} + \frac{1}{2-\sqrt{z}})    (1)

Sử dung bất đẳng thức Côsi, ta có

(\frac{1}{4-x} + \frac{4-x}{9}) + (\frac{1}{4-y} + \frac{4-y}{9}) + (\frac{1}{4-z} + \frac{4-z}{9}) ≥ 2

Suy ra \frac{1}{4-x}+\frac{1}{4-y}+\frac{1}{4-z} ≥ 2 - (\frac{4-x}{9}+ \frac{4-y}{9}+ \frac{4-z}{9}) =1 (2)

Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có 2√a ≤ a+1. Áp dụng bất đẳng thức này ta được

\frac{1}{2-\sqrt{x}} + \frac{1}{2-\sqrt{y}} + \frac{1}{2-\sqrt{z}} = \frac{1}{2-\frac{2x}{2\sqrt{x}}} + \frac{1}{2-\frac{2y}{2\sqrt{y}}} + \frac{1}{2-\frac{2z}{2\sqrt{z}}}

= \frac{1}{2-\frac{2x}{1+x}} + \frac{1}{2-\frac{2y}{1+y}} + \frac{1}{2-\frac{2z}{1+z}} ≥ \frac{x+1}{2} + \frac{y+1}{2} + \frac{z+1}{2} = 3 (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra điều phải chứng minh.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.

Câu hỏi liên quan

  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết