Biết rằng có ít nhất một trong ba số chính phương nói trên chia hết cho 3. Chứng minh rằng tích (a – b)(b – c)(c – a) chia hết cho 27.
Câu hỏi
Nhận biếtBiết rằng có ít nhất một trong ba số chính phương nói trên chia hết cho 3. Chứng minh rằng tích (a – b)(b – c)(c – a) chia hết cho 27.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Luyện Tập 365
Đặt 2a + b = x2, 2b + c = y2, 2c + a = z2 (với x, y, z ∈N)
Không mất tính tổng quát, giả sử z2 chia hết cho 3
Ta có x2 + y2 + z2 = 3(a + b + c) chia hết cho 3. Mà z2 chia hết cho 3. Nên x2 + y2 chia hết cho 3
Đặt x = 3t + r, y = 3h + m (t, h ∈Z; r, m ∈{0; 1; - 1}) x2 + y2 = 3t2 + 6tr + r2 + 9h2 + 6hm + m2 = 3(3t2 + 2tr + 3h2 + 2hm) + r2 + m2 chia hết cho 3
Nên r2 + m2 chia hết cho 3. Mà 0 ≤ r2 + m2 ≤ 2. Ta có r2 + m2 = 0 ⇔ r = m = 0
Vì vậy x chia hết cho 3; y chia hết cho 3
Do đó 2a + b chia hết cho 3, 2b + c chia hết cho 3, 2c + a chia hết cho 3
Mà 2a + b = 3a – (a – b), 2b + c = 3b – (b – c), 2c + a = 3c – (c – a)
Nên a – b chia hết cho 3, b – c chia hết cho 3, c – a chia hết 3
Vậy tích (a – b)(b – c)(c – a) chia hết cho 27.
Đặt 2a + b = x2, 2b + c = y2, 2c + a = z2 (với x, y, z ∈N)
Không mất tính tổng quát, giả sử z2 chia hết cho 3
Ta có x2 + y2 + z2 = 3(a + b + c) chia hết cho 3. Mà z2 chia hết cho 3. Nên x2 + y2 chia hết cho 3
Đặt x = 3t + r, y = 3h + m (t, h ∈Z; r, m ∈{0; 1; - 1}) x2 + y2 = 3t2 + 6tr + r2 + 9h2 + 6hm + m2 = 3(3t2 + 2tr + 3h2 + 2hm) + r2 + m2 chia hết cho 3
Nên r2 + m2 chia hết cho 3. Mà 0 ≤ r2 + m2 ≤ 2. Ta có r2 + m2 = 0 ⇔ r = m = 0
Vì vậy x chia hết cho 3; y chia hết cho 3
Do đó 2a + b chia hết cho 3, 2b + c chia hết cho 3, 2c + a chia hết cho 3
Mà 2a + b = 3a – (a – b), 2b + c = 3b – (b – c), 2c + a = 3c – (c – a)
Nên a – b chia hết cho 3, b – c chia hết cho 3, c – a chia hết 3
Vậy tích (a – b)(b – c)(c – a) chia hết cho 27.
Câu hỏi liên quan
-
Giải hệ phương trình
-
Rút gọn A
-
Cho Parabol (P): ax2(a ≠ 0) và đường thẳng d: y=2x - a. Tìm điểm a để d tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
-
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .
-
Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm
-
Gọi hoành độ giao điểm 2 điểm M và N lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng: x1x2=-1, từ đó suy ra tam giác MON là tam giác vuông
-
Giải hệ phương trình với a = 2
-
Tìm b để A =
-
Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên
-
Tính AC và BD biết
= 
. Chứng tỏ tích AC.BD không phụ thuộc vào