Cho a, b , c là các số nguyên sao cho 2a + b, 2b + c, 2c + a đều là các số chính phương (*). Trả lời câu hỏi dưới đây: Biết rằng có ít nhất một trong ba số chính phương nói trên chia hết cho 3. Chứng minh rằng tích (a – b)(b – c)(c – a) chia hết cho 27.
Câu hỏi
Nhận biếtCho a, b , c là các số nguyên sao cho 2a + b, 2b + c, 2c + a đều là các số chính phương (*).
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Biết rằng có ít nhất một trong ba số chính phương nói trên chia hết cho 3. Chứng minh rằng tích (a – b)(b – c)(c – a) chia hết cho 27.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Luyện Tập 365
Đặt 2a + b = x2, 2b + c = y2, 2c + a = z2 (với x, y, z ∈N)
Không mất tính tổng quát, giả sử z2 chia hết cho 3
Ta có x2 + y2 + z2 = 3(a + b + c) chia hết cho 3. Mà z2 chia hết cho 3. Nên x2 + y2 chia hết cho 3
Đặt x = 3t + r, y = 3h + m (t, h ∈Z; r, m ∈{0; 1; - 1}) x2 + y2 = 3t2 + 6tr + r2 + 9h2 + 6hm + m2 = 3(3t2 + 2tr + 3h2 + 2hm) + r2 + m2 chia hết cho 3
Nên r2 + m2 chia hết cho 3. Mà 0 ≤ r2 + m2 ≤ 2. Ta có r2 + m2 = 0 ⇔ r = m = 0
Vì vậy x chia hết cho 3; y chia hết cho 3
Do đó 2a + b chia hết cho 3, 2b + c chia hết cho 3, 2c + a chia hết cho 3
Mà 2a + b = 3a – (a – b), 2b + c = 3b – (b – c), 2c + a = 3c – (c – a)
Nên a – b chia hết cho 3, b – c chia hết cho 3, c – a chia hết 3
Vậy tích (a – b)(b – c)(c – a) chia hết cho 27.
Đặt 2a + b = x2, 2b + c = y2, 2c + a = z2 (với x, y, z ∈N)
Không mất tính tổng quát, giả sử z2 chia hết cho 3
Ta có x2 + y2 + z2 = 3(a + b + c) chia hết cho 3. Mà z2 chia hết cho 3. Nên x2 + y2 chia hết cho 3
Đặt x = 3t + r, y = 3h + m (t, h ∈Z; r, m ∈{0; 1; - 1}) x2 + y2 = 3t2 + 6tr + r2 + 9h2 + 6hm + m2 = 3(3t2 + 2tr + 3h2 + 2hm) + r2 + m2 chia hết cho 3
Nên r2 + m2 chia hết cho 3. Mà 0 ≤ r2 + m2 ≤ 2. Ta có r2 + m2 = 0 ⇔ r = m = 0
Vì vậy x chia hết cho 3; y chia hết cho 3
Do đó 2a + b chia hết cho 3, 2b + c chia hết cho 3, 2c + a chia hết cho 3
Mà 2a + b = 3a – (a – b), 2b + c = 3b – (b – c), 2c + a = 3c – (c – a)
Nên a – b chia hết cho 3, b – c chia hết cho 3, c – a chia hết 3
Vậy tích (a – b)(b – c)(c – a) chia hết cho 27.
Câu hỏi liên quan
-
Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k
-
Chứng minh DM.CE=DE.CM
-
Rút gọn A
-
Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm
-
Giải hệ phương trình với a = 2
-
Cho phương trình:
ax2 – 2(2a – 1) x+ 3a – 2 = 0 (1)
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Giải phương trình với a = -2
-
Gọ M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E với nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x2và điểm A(0;1)
Trả lời câu hỏi dưới đây:
Tìm đường thẳng d biết đường thẳng đó đi qua A(0;1) và có hệ số góc k
-
Tính AC và BD biết
= 
. Chứng tỏ tích AC.BD không phụ thuộc vào -
Cho Parabol (P): ax2(a ≠ 0) và đường thẳng d: y=2x - a. Tìm điểm a để d tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.