Skip to main content
/ Luyện Thi Vào Lớp 10 Môn Toán / Câu hỏi 18569

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ 1. Chứng minh rằng \frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\leq \frac{2}{1+xy}. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nào?

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ 1. Chứng minh rằng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ 1. Chứng minh rằng \frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\leq \frac{2}{1+xy}. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nào?


A.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y hoặc xy = 3.
B.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y hoặc xy = 1.
C.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y hoặc xy = 2.
D.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = - y hoặc xy = 1.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\leq \frac{2}{1+xy}

⇔ \frac{1}{1+xy}-\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+xy}-\frac{1}{1+y^{2}}\geq 0

⇔ \frac{1+x^{2}-1-xy}{(1+x^{2})(1+xy)}+\frac{1+y^{2}-1-xy}{(1+y^{2})(1+xy)}\geq 0

⇔ \frac{x(x-y)}{(1+x^{2})(1+xy)}+\frac{y(y-x)}{(1+y^{2})(1+xy)}\geq 0

⇔ x(x – y)(1 + y2) + y(y – x)(1 + x2) ≥ 0

⇔ (x – y)[x(1 + y2) – y(1 + x2)] ≥ 0

⇔(x – y)[x(1 + y2) – y(1 + x2)] ≥ 0

⇔(x – y)(x + xy2 – y – x2y) ≥ 0

⇔ (x – y)[(x – y) – xy(x – y)] ≥ 0

⇔ (x – y)2(1 – xy) ≥ 0

(Bất đẳng thức , vì (x – y)2  ≥ 0 và xy ≤ 1 ⇔ 1 – xy ≥ 0)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y hoặc xy = 1.

Câu hỏi liên quan

  • Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Tìm a để phương trình có 2 nghiệm nguyên

    Chi tiết
  • Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm

    Kẻ EI vuông góc MN, cắt AN tại D. Tính CD biết ME = 8cm; MN=10cm

    Chi tiết
  • Tính AC và BD biết

    Tính AC và BD biết widehat{AOC} = alpha. Chứng tỏ tích AC.BD không phụ thuộc vào  alpha

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình left{begin{matrix} 12x + y = 25\ x + 2y = 4 end{matrix}right.

    Chi tiết
  • Chứng minh DM.CE=DE.CM

    Chứng minh DM.CE=DE.CM

    Chi tiết
  • Cho Parabol  (P): ax2(a ≠ 0) và đường thẳng d: y=2x

    Cho Parabol  (P): ax2(a ≠ 0) và đường thẳng d: y=2x - a. Tìm điểm a để d tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.

    Chi tiết
  • Cho phương trình x2- 4x + m = 0 (1), với m là tham số.

    Cho phương trình x2- 4x + m = 0 (1), với m là tham số.

    Trả lời câu hỏi dưới đây:

    Giải phương trình (1) khi m = -5

    Chi tiết
  • Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn: x2  

    Tìm a để hệ phương trình có một nghiệm số duy nhất thỏa mãn:  x2  - 12x – 14y < 0 

    Chi tiết
  • AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.

    AO cắt ME tại C. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp.

    Chi tiết
  • Rút gọn biểu thức A

    Rút gọn biểu thức A

    Chi tiết