Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 62053

(1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng M(1;2) và N (2;-1).

(1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm

Câu hỏi

Nhận biết

(1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng M(1;2) và N (2;-1).


Đáp án đúng:

Lời giải của Luyện Tập 365

Cách 1: Gọi I giao điểm MN và CD

∆ NAM ~ ∆ NCI  => \frac{NA}{NC}=\frac{NM}{NI} = 3 

=> \overrightarrow{NI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}

=> \left\{\begin{matrix} x_{1}-2=\frac{1}{3}(1)\\ y_{1}+1=\frac{1}{3}.(-3) \end{matrix}\right.

Vậy I (\frac{7}{3} ; -2)

Gọi \overrightarrow{n}  = (a; b) là VTPT của AB

pt (AB) : a (x – 1) + b (y – 2) = 0

pt (CD) : a(x - \frac{7}{3}) + b(y + 2) = 0

Đặt AB = x (x > 0) =>  MH = \frac{x}{4} ; NH = \frac{3}{4} x

Ta có : MN2 = MH2 + NH2 =>  x = 4

d(M; CD) = 4  <=>  |-a + 3b| = 3\sqrt{a^{2}+b^{2}}  <=> 4a2 + 3ab = 0

Với b = 0 =>  a = 0 (loại)

Với b khác  0 chọn b = 1 =>  a  = 0 hoặc a = - \frac{3}{4}

Vậy phương trình CD là : y + 2 = 0 hoặc 3x – 4y - 15 = 0

 

 

Cách 2:

Gọi I giao điểm MN và CD

∆ NAM ~ ∆ NCI  => \frac{NA}{NC}=\frac{NM}{NI} = 3 

=> \overrightarrow{NI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}

=> \left\{\begin{matrix} x_{1}-2=\frac{1}{3}(1)\\ y_{1}+1=\frac{1}{3}.(-3) \end{matrix}\right.

Vậy I (\frac{7}{3} ; -2)

VTCP của MN là  \overrightarrow{a} (1; -3)

VTCP của CD là \overrightarrow{b} (m; n)

cos(MN,CD) = \frac{1}{\sqrt{10}} <=>  8n2 – 6mn = 0 <=>  n = 0 hay n = \frac{3m}{4}

+ TH1: n = 0 =>  CD : y + 2 = 0

+ TH2: n = \frac{3m}{4}   =>  CD : 3x – 4y – 15 = 0                                 

Cách 3

MN = \sqrt{10}

Gọi P là giao điểm của đường MN và đường BC

Gọi Q là hình chiếu vuông góc của N trên BC.

AC = AN + NC = 4NC

NQ / AB = NC / AC = 1/4

→ NQ = AB/4 = MB/2

→ N là trung điểm PM

→ P(xP; yP) thỏa xp = 2xN – xM = 3 và yP = 2yN – yM = –4

→ P(3; –4)

Gọi a là cạnh hình vuông ABCD

MB = a/2; NQ = a/4; QC = a/4; BQ = 3a/4; NB = MN = \sqrt{10}

Theo pytago: NB² = NQ² + BQ²

→ 10 = a²/16 + 9a²/16 → a = 4

Gọi E là giao điểm của PM và CD

NE/MN = NC/AC = 1/3

→  \overrightarrow{NE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MN} → xE = 7/3 và yE = –2 → E(7/3; –2)

Ta lại có BM = 2 và BN = \sqrt{10}

<=> \left\{\begin{matrix} (1-x_{B})^{2}+(2-y_{B})^{2}=4\\ (2-x_{B})^{2}+(-1-y_{B})^{2}=10 \end{matrix}\right.     

<=> \left\{\begin{matrix} 2x_{B}-6y_{B}=-6\\ (1-x_{B})^{2}+(2-y_{B})^{2}=4 \end{matrix}\right.

  → (4 – 3yB)² + (2 – yB)² = 4

→ yB = 2 hoặc yB = 4/5 → B(3; 2) hoặc B(–3/5; 4/5)

Với B(3; 2): \overrightarrow{BP} = (0; –6)

Đường thẳng CD qua E(7/3; –2) và nhận (0; 1) làm VECTOR PHÁP TUYẾN nên có phương trình là  (CD): y + 2 = 0

Với B(–3/5; 4/5): \overrightarrow{BP} = (18/5; –24/5) = (6/5).(3; –4)

Đường thẳng CD qua E(7/3; –2) và nhận (3; –4) làm VECTOR PHÁP TUYẾN nên có phương trình là  (CD): 3(x – 7/3) – 4(y + 2) = 0 hay (CD): 3x – 4y – 15 = 0

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết